利用矢量图研究抛体最大射程问题

路虎．本文改变传统思维方式，利用矢量图研究最大射程问题，数形结合，不需要复杂的计算，希望对读者有所启发．
蚈题目一：水平面上一个小球（可看作质点），以初速度v0 斜向上抛出，初速
知，末速度大小vt=v0．全 v0
过程速度矢量的改变量
v0
Δv=gt，方向竖直向下．画

出速度矢量图如图1 所

O

α

x

Δv=gt

示．

羅小球水平位移x=vxt，

vt

矢量v0 与vt 所构成矢量三

图1

角形面积S=

1

Δvv=

1

vxgt，可得x=

2

S．v0

2

x

2

g

方向不同，矢量三角形面积也不同，如图2

v0

所示．当v0 朝某一方向使矢量三角形面积

O

Δv=gt

S 最大时，小球水平射程x 就达到最大．这样

就把研究最大射程问题转化为研究三角形

腰，方向相对v0改变时，三角形的高就相应改变，

vt

当vt与v0垂直时，三角形的高达到最大等于vt，此时

三角形的面积达到最大值Sm=

1

vv=

1

v02，如图3

2

0t

2

O

v0

所示．

图3

肅结论：当vt 与v0 垂直时，小球水平射程有最大值xm=

2

S=

v

0

2

．此时初速度

g

m

g

方向与水平面夹角α=

?

．

4

肂题目二：距水平面高为h 处一个小球（可看作质点），以初速度v0 斜向上抛
出，
肈分析：题目二的思初速度方向与水平面夹角α为多大时，小球水平射程最远？最远射程是多少？
律
1
mv 0 2?mgh? mv t 2
，h v0
2 2
O′ x
得vt= v 0?2 gh，即末速 Δv=gt

度大小不变．速度矢量图

vt

小球水平位移仍是x=

2

S．v0 矢

膅

g

化．与前题一样，当vt 与v0 垂直

O

Δv=gt

时，v0 与vt 所构成矢量三角形面积

最大．最大面积S=

1

vv=

m

2

0t

vt

1

v

0

v

0

2

?

2

gh

，如图5 所示．

S=

v

0

v

0

2

?

2

gh

．此

2

螂结论：当vt 与v0 垂直时，小球水平射程有最大值xm=

2

g

m

v

0

g

时v0 与水平方向夹角等于vt 与竖直方向夹角，可得tanα=

v0

=

2

v

0

2

gh

．即初

v

t

?

速度方向与水平面夹角α=arctan

v

0

2

v

0

2

gh

．

?

间和后半段时间小球速度矢量的变化量相等，即Δv=Δv=

1

gt．

前 后

2

跟着变化．同样当vt与v0垂直时，

O

v0

Δv前=gt/2

v0 与vt 所构成矢量三角形面积最

大，如图7 所示．

v中

薆分析如下：v0 与vt 所构成矢量三

vt

v中 θΔv前

βΔv后=gt/2β
β

角形面积可分为上下两部分，上半

图7

v0

部分由v0、v 中和Δv 前构成的矢量三角形面积S 上=

1

S，我们只需研究当v方向朝

2

0

何处，使矢量三角形面积S 上达到最大．我们可把v0 作为三角形的底边而固定不

动，v 中和Δv 前作为三角形的两个腰，可以看出，v 中和Δv 前所夹角度即三角形

的顶角β=

?

-θ，是定值．从而可知角度改变时三角形的顶点始终落在同一个圆

2

芅结论：当vt 与v0 垂直时，小球在斜面上的射程最远．初速度方向与水平方向

夹角α=

??

?

?

?=

??

?
，

2

2

4

薄小球落在斜面上的末速度vt=

v

0

?

v

tan

??

?

?

??

?

，

tan

??

?

?

??

?

0

?

4

2?

?

4

2?

1 1 2 ??
虿v0 与vt 所构成矢量三角形最大面积Sm= v0vt= v tan?

??

?2?

?

，

v 0 2 tan???????
莅小球在斜面上的最远射程dm = x m = ?4 2?．
cos?g cos?