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向量长度计算公式及中点公式

来源：UU财经

螇课题：6.3平面向量的坐标运算--向量长度的计算公式和线段中点的坐标

公式

肆教学目的：（1）理解平面向量长度的计算公式；

蚃（2）掌握线段中点的坐标公式；

羀教学重点：线段中点的坐标公式

薅教学难点：公式的理解及应用.

芄授课类型：新授课

肂课时安排：1课时

螀教学过程：

蚆一、复习引入：

1 2 1 2 1 2 1 2

蒀若

A (

x 1y 1

)

，

(

)

，则

u u u

(

x 2

x y 1

y 1

)

蚈二、讲解新课：

蚅1.平面向量长度的计算公式的推导：

羁如图,已知

v a

r
xe 1

r
ye 2

( , )

，则

r
xe 1

r
e 1

r
ye 1

r
e 2

芁

蒅由勾股定理得,

v a

袃上式即为根据向量

v a

的坐标,求向量

v a

的长度的计算公式,简称向量长度的计算公式.

莀如果已知

A x y 1 1

)

(

)

,则有向量

u u u

(

x 2

)

( , x y 1 1

)

(

x 2

x y 1

y 1

)

羁所以,

u u u

(

x 2

x 1

)

(

y 1

)

薆上式即为根据向量

u u u

的坐标,求向量

u u u

的长度的计算公式,也称为向量长度的计算

公式,又称为两点间的距离公式.

肄方法一:设线段AB 的两个端点A( x 1y ) , B ( x 2y ) ,线段AB 的中点C x y ( , ) ,则膆2.线段中点的坐标公式的推导：

薈

u u u

(

x 2

y 2

)

( , )

(

x 2

x y

)

芄又C 为线段AB 的中点,因此

u u u

,于是

?x?

???

x 1

x 2

,得

y 1

x 1

x 2

y 1

蒃这就是线段AB的中点C的坐标计算公式,简称中点公式.

膈方法二:如图,C 为线段AB 的中点,所以

u u u

1 ( OA

u u u
OB ) ,

莅换用坐标表示为

( , )=

[( , )+( 1 1 x y 2

)]=(

x 1

x 2

y 1

)

即

x 1

x 2

y 1

蒂

袂三、讲解范例：

羈例1 已知两点

A (3, 5)

，

B ??( 1, 7)

，求向量

u u u

的长度.

蒆解: (方法一)

u u u

( 1, 7)

(3, 5)

( 4, 2)

u u u

( 4)?

??( 2)

2 5.

螅(方法二)直接由公式得,

y 1

)

u u u

(

x 2

x 1

)

(

y 2

薈

x 0

)

y 0

)

袃即线段AB的中点坐标为(0,0),这表明线段AB的中点是平面直角坐标系Oxy的原点O,所以点A(x,y)与B(-x,-y)关于平面直角坐标系Oxy的原点O中心对称.

螁例3已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求顶点D的坐标.

葿解: (方法一)

u u u

=(-1,-2)+(3,1)-(3,-1)=(-1,0),

芅∴D(-1,0).

芆(方法二) 设D(x,y),则

u u u

=(x,y)- (-1,-2)=(x+1,y+2),

u u u
BC =(3,1)-(3,-1)=(0,2),

膀∵在平行四边形ABCD 中,

u u u

, ∴(x+1,y+2)=(0,2), ∴x+1=0,y+2=2, ∴x=-1,y=0.

腿∴D(-1,0).

莇(方法三) 设D(x,y),则								u u u AC	的中点为				(	??1 3	,	??2 1 )	,	u u u BD	的中点为	(	3	?	x	,	??	y	)	,
莇(方法三) 设D(x,y),则									的中点为					2		2						2			2
?	??1 3	?	3	?	x	,	??2 1		?	??	y	,∴x=-1,y=0. ∴D(-1,0).										2			2
莄	2			2			2			2		,∴x=-1,y=0. ∴D(-1,0).

袄四、课堂练习:

羀1.已知平行四边形ABCD的顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点D的坐标.

蒈2.已知A(-1,1)、B(0,-2)、C(3,0)、D(2,3),求证:四边形ABCD 是平行四边形.
蒂3.求下列各点关于坐标原点的对称点:
芅1.平面向量长度的计算公式：

袅若

v a

( , )

，则

v a

；

螃若

A (

x 1y 1

)

，

(

)

，则

u u u

(

x 2

x 1

)

(

y 1

)

莀2.线段中点的坐标公式：

芇若

A (

x 1y 1

)

(

)

,则线段AB 的中点

C x y ( , )

的坐标公式为：

x 1

y 1

x 2

羃六、课后作业:P155练习6-3T9-10.

膂七、板书设计:

膁向量长度的计算公式和线段中点的坐标公式

莈1.平面向量长度的计算公式： 2.线段中点的坐标公式：

莆例1 例2

薁例3

袁

膅八、课后记:

蒄

莈羁

膇

以下无正文
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

Forpersonal use only in study and research; not for commercial use.

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Nurfür den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellenZwecken verwendet werden.

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